UK: У статті представлено математично обґрунтовану модель формування індивідуальної освітньої
траєкторії для персоналізації освітнього процесу в системі фахової освіти. Розроблено формалізовану
модель, що інтегрує діагностику початкових компетентностей здобувачів, визначення вимог до результатів навчання, оптимальний підбір освітніх компонентів та багатокритеріальну оцінку ефективності. Центральним поняттям є компетентнісний розрив як основа персоналізації, що визначає
невідповідність між наявними та вимогами компетентностями. Виділено чотири типи компетентнісних розривів: кількісний, якісний, структурний та актуалізаційний. Запропоновано експоненційну функцію трансформації компетентностей, що відображає природну динаміку навчання, та цільову функцію
оптимізації з урахуванням ефективності формування компетентностей, використання фінансових і
часових ресурсів. Визначено систему обмежень для забезпечення відповідності освітнім стандартам.
Практична апробація підтвердила застосовність моделі для оптимізації освітніх процесів та підвищення якості підготовки фахівців.
EN: The contemporary vocational education system faces unprecedented challenges in ensuring effective professional
training that meets rapidly evolving labor market demands and technological advancement requirements. Traditional
uniform educational approaches prove insufficient for addressing diverse learner needs, varying professional backgrounds,
and dynamic industry competency requirements. This necessitates development of personalized educational pathways
capable of optimizing learning outcomes while efficiently utilizing available resources. The research addresses critical gaps
in mathematical formalization of individual educational trajectory formation within vocational education contexts. Current
theoretical frameworks lack comprehensive models integrating competency diagnostics, learning objectives specification,
optimal educational component selection, and effectiveness evaluation mechanisms. Existing approaches inadequately
address dynamic relationships between initial learner competencies, target professional requirements, and optimal
resource allocation strategies. The study proposes novel mathematical framework for individual educational trajectory
optimization, introducing competency gap concept as central mechanism for personalized learning path determination.
Four distinct types of competency gaps are identified: quantitative gaps reflecting insufficient mastery levels, qualitative
gaps indicating competency type mismatches, structural gaps representing imbalances between competency categories,
and actualization gaps caused by outdated competency relevance. The model encompasses initial competency
assessment methodologies, requirement specification frameworks based on industry standards, educational component
characterization systems, temporal synchronization mechanisms ensuring logical learning progression, and effectiveness
evaluation approaches. Exponential transformation function models competency development dynamics, reflecting
natural learning curves with rapid initial progress and gradual deceleration toward mastery levels. Target optimization
function incorporates competency formation effectiveness, financial resource utilization efficiency, and temporal resource
optimization through weighted coefficient system. Research methodology combines theoretical modeling approaches
with practical validation through educational institution case studies, demonstrating applicability and effectiveness of
proposed mathematical frameworks.
