Оптимизация структуры систем резервирования методом точной квадратичной регуляризации

Abstract

RU: В работе рассматривается задача оптимизации структуры систем резервирования элементов. Такие задачи возникают при проектировании сложных систем. Для повышения надежности функционирования таких систем ее элементы дублируются. Это увеличивает стоимость системы и повышает ее надежность. При оптимизации таких систем максимизируется вероятность безотказной работы всей системы при ограничении на ее стоимость либо минимизируется стоимость при заданной вероятности безотказной работы. Математическая модель задачи резервирования является дискретной многоэкстремальной. Для поиска глобального экстремума в настоящее время используются методы множителей Лагранжа, покоординатного спуска, динамического программирования, случайного поиска. Эти методы гарантируют получение только локальных решений и используются в задачах резервирования малой размерности. В работе для решения задач резервирования используется новый метод точной квадратичной регуляризации. Этот метод позволяет преобразовать исходную дискретную многоэкстремальную задачу к максимизации нормы вектора на выпуклом множестве. Это означает, что все многообразие задач резервирование приводится к задаче максимизации нормы вектора на выпуклом множестве. Для решения преобразованной задачи используется прямо-двойственный метод внутренней точки. В настоящее время, это лучший метод для локальной оптимизации нелинейных задач. Преобразованная задача содержит новую вспомогательную переменную, которая определяется методом дихотомии. Были проведены многочисленные сравнительные численные эксперименты в задачах резервирования с числом подсистем до ста. Эти эксперименты подтверждают эффективность метода точной квадратичной регуляризации для решения задач резервирования

UK: У роботі розглядається задача оптимізації структури систем резервування елементів. Такі задачі виникають при проектуванні складних систем. Для підвищення надійності функціонування таких систем її елементи дублюються. Це збільшує вартість системи і підвищує її надійність. При оптимізації таких систем максимізується ймовірність безвідмовної роботи всієї системи при обмеженні на її вартість або мінімізується вартість при заданій ймовірності безвідмовної роботи. Математична модель задачі резервування є дискретною та багатоекстремальною. Для пошуку глобального екстремуму в даний час використовуються методи множників Лагранжа, покоординатного спуску, динамічного програмування, випадкового пошуку. Ці методи гарантують отримання тільки локальних розв’язків і використовуються в задачах резервування малої розмірності. У роботі для вирішення завдань резервування використовується новий метод точної квадратичної регуляризації. Цей метод дозволяє перетворити вихідну дискретну багатоекстремальну задачу до максимізації норми вектора на опуклій множині. Це означає, що все різноманіття завдань резервування приводиться до задачі максимізації норми вектора на опуклій множині. Для вирішення перетвореної завдачі використовується прямо-двоїстий метод внутрішньої точки. В даний час, це кращий метод для локальної оптимізації нелінійних задач. Перетворена задача містить нову допоміжну змінну, яка визначається методом дихотомії. Були проведені численні порівняльні чисельні експерименти в задачах резервування з числом підсистем до ста. Ці експерименти підтверджують ефективність методу точної квадратичної регуляризації для розв’язання задач резервування

EN: The problem of optimization of the structure of systems redundancy elements. Such problems arise in the design of complex systems. To improve the reliability of operation of such systems of its elements are duplicated. This increases system cost and improves its reliability. When optimizing these systems is maximized probability of failure of the entire system while limiting its cost or the cost is minimized for a given probability of failure-free operation. A mathematical model of the problem is a discrete backup multiextremal. To search for the global extremum of currently used methods of Lagrange multipliers, coordinate descent, dynamic programming, random search. These methods guarantee a just and local solutions are used in the backup tasks of small dimension. In the work for solving redundancy uses a new method for accurate quadratic regularization. This method allows you to convert the original discrete problem to the maximization of multi vector norm on a convex set. This means that the diversity of the tasks given to the problem of redundancy maximize vector norm on a convex set. To solve the problem, a reformed straight- dual interior point methods. Currently, it is the best method for local optimization of nonlinear problems. Transformed the task includes a new auxiliary variable, which is determined by dichotomy. There have been numerous comparative numerical experiments in problems with the number of redundant subsystems to one hundred. These experiments confirm the effectiveness of the method of precise quadratic regularization for solving problems of redundancy