Определение абсолютной погрешности интерполяции кривой с заданными геометрическими свойствами

Abstract

RU: Цель. Целью исследования является разработка способа определения абсолютной погрешности интерполяции точечного ряда неосциллирующей плоской кривой линией исходя из условия монотонного изменения дифференциально-геометрических характеристик вдоль исходного геометрического образа. Методика. Проведенный анализ способов оценки точности интерполяции методами непрерывного геометрического моделирования показал, что недостатки данных способов вызваны решением сравнивать полученную модель с известной наперед заданной функцией, отличной от исходной кривой, которой принадлежит точечный ряд. В работе предлагается способ определения точности интерполяции, основанный на формировании кривой исходя из ее геометрических свойств. Предположение, на основе которого формируется кривая, следующее: если существует кривая линия, интерполирующая исходный точечный ряд, и у этой линии отсутствуют особые точки (точки перегиба, смены направления возрастания вдоль кривой значений кривизны, кручения и т.д.), то такие особые точки отсутствуют и у исходного объекта. Рассматривается две составляющие возникновения погрешности. Погрешность, с которой сформированная кривая линия, интерполирующая исходный точечный ряд, представляет исходную кривую, оценивается как область возможного расположения всех кривых линий, свойства которых идентичны свойствам исходной кривой. Интерполирующая кривая линия формируется в виде сгущенного точечного ряда, состоящего из сколь угодно большого количества узлов, определенных исходя из условия возможности интерполировать его кривой линией с заданными характеристиками. Погрешность формирования интерполирующей кривой линии оценивается как область возможного расположения кривой линии, интерполирующей сгущенный точечный ряд. Результаты. В данной работе представлено решение задачи для плоской кривой исходя из условия отсутствия осцилляции и условия монотонного изменения кривизны. Область расположения кривой, определенная исходя из условия выпуклости кривой, максимальна и является исходной. Наложение последующих условий: монотонное изменение кривизны вдоль кривой и назначение фиксированных положений касательных и значений кривизны в исходных точках, локализует область возможного решения. Научная новизна. Разработанный способ оценки точности интерполяции кривой позволяет определить абсолютную погрешность, с которой модель представляет исходную кривую и точность, с которой интерполирующая кривая представляет любую кривую с заданными свойствами. Практическая значимость. Разработанный способ может быть использован при решении задач, требующих определения максимальной абсолютной погрешности, с которой модель представляет исходный объект. Это приближенные вычисления, построение графиков, описывающих процессы и явления, формирование моделей поверхностей по физическому образцу.

UK: Мета. Метою дослідження є розробка способу визначення абсолютної похибки інтерполяції точкового ряду неосцилюючою плоскою кривою лінією виходячи з умови монотонної зміни диференціально-геометричних характеристик уздовж вихідного геометричного образу. Методика. Проведений аналіз способів оцінки точності інтерполяції методами безперервного геометричного моделювання показав, що недоліки даних способів викликані рішенням порівнювати отриману модель з відомою наперед заданою функцією, що відрізняється від вихідної кривої, якій належить точковий ряд. У роботі запропоновано спосіб визначення точності інтерполяції, який засновується на формуванні кривої виходячи з її геометричних властивостей. Припущення, на основі якого формується крива, наступне: якщо існує крива лінія, яка інтерполює вихідний точковий ряд, та у цієї лінії відсутні особі точки (точки перегину, зміни напряму зростання удовж кривої значень кривини та ін.), то такі особі точки відсутні й у вихідного об’єкта. Розглядається дві складові виникнення похибки. Похибка, з якою сформована крива лінія, що інтерполює вихідний точковий ряд, представляє вихідну криву, оцінюється як область можливого розташування всіх кривих ліній, властивості яких ідентичні властивостям вихідної кривої. Інтерполююча крива лінія формується у вигляді згущеного точкового ряду, що складається із будь-якої кількості вузлів, визначених виходячи з умови можливості інтерполювати його кривою лінією з заданими характеристиками. Похибка формування інтерполюючої кривої лінії оцінюється як область можливого розташування кривої лінії, що інтерполює згущений точковий ряд. Результати. У даній роботі представлено розв’язок задачі для плоскої кривої виходячи з умови відсутності осциляції та умови монотонної зміни кривини. Область розташування кривої, визначена виходячи з умови опуклості кривої, максимальна та є вихідною. Накладання наступних умов: монотонна зміна кривини уздовж кривої та призначення фіксованих положень дотичних і значень кривини у вихідних точках, локалізує область можливого розв’язку. Наукова новизна. Розроблений спосіб оцінки точності інтерполяції кривої дає можливість визначити абсолютну похибку, з якою модель представляє вихідну криву, та похибку, з якою інтерполююча крива представляє будь-яку криву з заданими властивостями. Практична значимість. Розроблений спосіб може бути використаний при розв’язанні задач, що вимагають визначення максимальної абсолютної похибки, з якою модель представляє вихідний об’єкт. Це наближені обчислення, побудова графіків, що описують процеси та явища,формування моделей поверхонь по фізичному зразку.

EN: Purpose. The purpose of the research is to develop a method for determining of absolute error of interpolation of a point set by a non-oscillating plane curve from the condition of monotonous change of differential-geometric characteristics along the initial geometric image. Methodology. Analysis of methods of estimating of accuracy of interpolation by the methods of continuous geometric modeling showed that disadvantages of these methods are caused by the decision to compare the obtained model with a known predefined function, which differs from the initial curve to which the points set belongs. The method of determining the accuracy of the interpolation, which is based on the formation of curve on the basis of its geometrical characteristics, is proposed in this article. The assumption, on the basis of which the curve is formed, is following: if there is a curve that interpolates the original points set and there are no singular points for this curve (an inflection point, points of change direction of curvature, torsion values, etc.), then there are no such singular points on the original object. Two components of the occurrence of error are considered. The error, with which the formed curve that interpolates the original points set represents the original curve, is estimated as the area of possible location of all curves whose characteristics are identical to those of the original curve. The interpolating curve is forming in the form of a condensed points set, which consists of an arbitrarily large number of points determined from the condition of the possibility of interpolating its curve by a line with given characteristics. The error of the formation of the interpolating curve is estimated as the area of possible location of the curve interpolating the condensed points set. Findings. The solution of the problem for a plane curve on the basis of the condition of absence of oscillations and the condition of monotonous change of curvature values is present in this article. The area of location of curve, which is determined by the condition of convexity of curve, is maximal and is the initial. Addition of the following conditions (monotonous change of curvature along the curve and assignment of fixed positions of tangents and curvature values at initial points) localizes the area of possible solution. Originality. The developed method for estimating of accuracy of interpolation of a curve makes it possible to determine the absolute error with which the model represents the initial curve and the accuracy with which the interpolating curve represents any curve with given properties. Practical value. The developed method can be used in solving of problems that require the determination of maximum absolute error with which the model represents the original object. It is approximate calculations, the construction of graphics that describe of processes and phenomena, the formation of models of surfaces on the physical sample.